线性代数

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翻译样例: 计算对称带状矩阵广义特征值问题的同伦连续方法
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两种算法均没有很好地利用矩阵的对称带状的性质,在计算过程中引入了满矩阵,计算量和存储量增加。

同伦连续算法是计算矩阵标准特征值问题的一个非常有效的算法[1-5],同样也被推广用来计算广义特征值问题[6-10]。本文利用同伦连续方法计算对称带状矩阵广义特征值问题,首先计算一个相对简单的矩阵广义特征值问题,然后通过构照同伦函数、利用计算微分方程的方法跟踪同伦曲线(或特征路径)计算原问题的特征对。

第二部分首先给出同伦函数和同伦算法描述;第三部分给出算法的并行实现;第四部分给出数值实验。

为了避免步长过小或遇到特征值束,我们放弃跟踪某些特征路径,因而会丢失某些特征对。不用任何附加的计算,我们就可以精确知道哪些特征对被遗漏,并且根据已经计算出的特征值就可以知道这些被遗漏的特征对所处的比较好的区间。为此,首先利用二分法将特征值分割,然后利用广义Rayleigh商迭代[11]计算遗漏的特征对。

本文算法非常适合并行实现。首先,(的特征值可以彼此独立地并行计算;其次,每条同伦曲线的跟踪也是相互独立进而可以并行计算;在算法的第6步计算遗漏的特征对时,每个特征对的计算也是相互独立的。因此算法的良好的内在并行性使得本文算法无论是在共享存储环境下还是在分布式环境下都可以高效地并行实现。

表1列出了本文算法与DSBGVX子程序关于问题(1.1)的数值试验结果。其中,p=1和p=4分别代表了单台处理机上串行算法和4台处理机上并行算法的计算时间,两者初始矩阵相同。

从表1我们可以看出,对于固定的带宽,当矩阵规模比较大时,本文算法明显优于LAPACK软件包中的DSBGVX子程序。并且在分布式环境下可以获得较高的加速比。

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