微分几何

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翻译样例: 亚正定矩阵的Kronecker积
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1970年,C.R.Johnson在文[1]中提出了一般化的矩阵正定的概念,后来,屠伯埙在文[3]、[4]中称之为亚正定矩阵.与正定矩阵不同,亚正定矩阵的Kronecker积未必是亚正定矩阵.这样,研究在怎样的条件下,亚正定矩阵的Kronecker积还是亚正定矩阵,就显得很有必要.本文利用矩阵的特征值,研究亚正定矩阵的Kronecker积的亚正定性,得到了一个充要条件,文[3]中的一些定理是它的简单推论,同时得到Hadamard积亚正定性的一个充要条件.用Cn×n表示复数域C 上n 阶矩阵集合,Cn×1表示复数域上n 维列向量集合,)T 表示) 的转置,)1=D)T 表示) 的共轭转置,det) 表示) 的行列式,λ())表示) 的特征值,minλ())表示) 的最小特征值(当) 的特征值全为实数时),Re< 表示复数< 的实部.定义1[1] 设)&Cn×n,若对任意的05(=(x1,x2,…,xn)1&Cn×1,都有Re((1)()-0,则称) 为(复)亚正定矩阵.设)&Cn×n,则)=H())+K()),其中H())=),)12,K())=)3)12,分别称为) 的Hermite部分和反Hermite部分.显然,) 亚正定.) 的Hermite部分H())是正定矩阵.命题1 设)&Cn×n为亚正定矩阵,λ())为) 的任一特征值,则Reλ())-0.证 由假设知A 的Hermite部分H())是正定矩阵,从而λ(H()))-0.由minλ(H()))%Reλ())%maxλ(H()))知结论成立.定义2[5] 设)=(aij)&Cm×n,&=(bij)&Cp×q是任意两个复数矩阵,称矩阵)P&=(aij&)&Cmp×nq为) 与& 的Kronecker积(张量积).矩阵的Kronecker积有如下性质:引理1 (1)()P&)T=)TP&T;(2))&P1:=()P1)(&P:);(3)设),&&Cn×n均为正定矩阵,则)P& 亦为正定矩阵;(4)设)&Cm×m 的特征值为λi(i=1,2,…,m),&&Cn×n的特征值为μj(j=1,2,…,n),则)P& 的特征值为λiμj(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n).

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