量子物理

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翻译样例: 一维δ势阱中的相对论粒子
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在非相对论量子力学中, 粒子的运动由Schr?dinger 方程描写. 考虑相对论效应,则应该用相对论波动方程代替. 对自旋为1P2 的相对论粒子, 即是Dirac 方程. Dirac 方程比Schr?dinger 方程复杂,因而能够解析求解的情况更少. 比如非相对论量子力学中非常典型的线性谐振子问题(三维或低维) ,在Dirac 方程的情况下便不能解析求解. 能够解析求解的两个典型例子,一是自由粒子,一是氢原子问题.

这可在多数教科书中找到[ 1~3 ] . 但这两个例子,前者由于没有外场,因而其解是比较平庸的平面波,在量子力学的水平上显示不出它的用处(在量子场论中,这些平面波解则可作为场算符展开的基) ;后者虽然非常有用,但其求解却相当繁琐,不易为初学者所掌握. 如果能够像非相对论量子力学那样,求解一些简单的一维例子,并讨论其非相对论极限,对于初学者无疑是有益的. 容易想到的例子是方势阱. 但不难验证,在无限深方势阱的情况下,Dirac 方程无解(对二维、三维球方势阱亦然) . 从物理上来说,既然是相对论粒子,可以具有很大的动能,实际的势阱应该不能对其形成绝对的束缚,因此将任何势阱当作无限深都是不适当的. 稍微复杂一点的例子当然就是有限深势阱了. 在教科书中,这通常被列作习题[ 3 ] . 应当指出,即使在一维空间,决定能级的超越方程都相当复杂. 尽管可以确定能级的数目,但由于能级不能用已知参数和量子数的显式表出,难以讨论其非相对论极限(后者亦无显式表示) . 本文的目的是求解一维δ势阱和双势阱的Dirac 方程. 这有两方面的意义. 第一,一维δ势阱只有一个束缚态能级,可以用非常简单的显式表出,便于讨论非相对论极限. 双势阱的情况虽较复杂,能级不能用显式表出,但能级的数目与势阱参数之间有较简单的关系,将结果与非相对论情况比较,可看出两种理论给出的物理图像有明显不同之处. 第二,由于δ势阱的奇性,波函数在奇点处是不连续的. 这是Dirac 方程所特有的,值得加以注意.

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