非线性物理

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翻译样例: 轴向运动弦线和梁的稳定性、振动和混
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现代数学和理论物理学中的流形和纤维丛理论渊源于对力学系统相空间结构的研究,三十多年来,这种现代数学理论极大地促进了物理学的发展,并成为规范物理学诸多领域(如量子力学、广义相对论、规范场论、粒子物理学)的重要数学工具。伴随这一几何化进程,分析力学也实现了几何化,成为“规范”的力学。分析力学的几何化对非完整力学的现代发展起到了极大地推动作用,它不仅深化了对非完整力学的理论研究,而且也极大地推动了其应用研究,这使得约束系统的几何动力学成为目前该研究领域的两个主流方向之一。而另一个主流方向-非完整运动规划也与几何动力学紧密相关。

最早进入这一进程的是Vershik A M(1981)和Hermann R(1982),但非完整约束系统的几何动力学的蓬勃发展开始于上个世纪九十年代初。十年来,从最初的构造约束流形的纤维丛结构,到今天对约束系统的Lagrange理论、Hamilton理论、对称性和不变量、动量映射与对称约化、非完整运动规划、约束系统的Vakonomic动力学等诸多专题的研究,积累了丰富的文献资料,形成了各种各样的理论,并在控制与规划等领域得到了广泛应用。

本文主要综述非完整约束系统几何动力学最近十年来的研究进展,分如下三个部分:

1.非完整系统几何动力学的Lagrange理论。包括(1)现代微分几何学基础,如射丛几何学的基本概念、射丛按约束的直和分解、约束流形上的水平分布等;(2)讨论曾经产生过激烈争议的关于非完整力学若干力学问题,如Chetaev条件和δ?d交换关系;(3)D'Alembert-Lagrange方程与Chaplygin方程的整体描述。

2.Riemann-Cartan流形上

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